​初高衔接：高中数学最常用的工具——均值不等式与不等式链

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初高衔接：高中数学最常用的工具——均值不等式与不等式链

初高衔接：毕达哥拉斯与调和平均数

初高衔接：射影定理和几何平均数

初高衔接：几何视角下的基本不等式：算术平均数和几何平均数

初高衔接：平方平均数与统计，算术平均数与平方平均数

笔者已经将均值不等式中的各个平均数分别介绍

接下来我们将汇总一下，得到最终的均值不等式

一、均值不等式

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式

含有四个平均值：调和平均数

，几何平均数

,算数平均数

，平方平均数

满足

即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

展开来就是

当且仅当所有数据相等时取等

二、 均值不等式二元形式

当然，在高中阶段我们不需要这么普适的式子

只需要让n=2

也就是

当且仅当a=b时取等

这个式子就是高中数学最经典的不等式链！\

三、作商法证明不等式

下面介绍一种比大小的方法

换而言之，要比较两个式子的大小，只要比较它们的商和1的关系

四、不等式链的证明

就是基本不等式，无需再提

在初高衔接：平方平均数与统计，算术平均数与平方平均数中笔者已经证明了

所以

那么未被证明的就只有调和平均数小于几何平均数

巧合的是

这意味着什么? 巧合的是，调和平均数和算数平均数乘起来恰好就是几何平均数的平方

因为

接着我们用作商法

所以

所以

这样我们就兵不血刃的证明了二元均值不等式

五、不等式链的意义

不等式链涉及到了二元，分式，根号，平方等等多个方面

涵盖了高中阶段的主要计算式

运用基本不等式，辅以配凑，是解决不等式问题最常用的方法！

但柯西不等式，权方和不等式等也需要掌握，以提升解题速度

初高衔接：高中数学神级技巧——柯西不等式

初高衔接：用权方和不等式秒杀一类问题

望读者有所收获！

六、一道练习题

这道题目十分经典，我们将会不断见到这种题型！

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